Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.
С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.
Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".
Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:
За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.
Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.
Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.
В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.
среда, 4 июля 2018 г.
Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.
Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.
Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.
Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.
Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.
В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...
А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.
Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.
Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".
воскресенье, 18 марта 2018 г.
Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.
Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.
Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.
1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.
2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.
3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.
4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.
Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.
С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.
Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.
Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.
Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.
Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.
Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?
Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.
Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,
Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:
Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.
1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.
Призма - это одна из объемных фигур, свойства которой изучают в школе в курсе пространственной геометрии. В данной статье рассмотрим конкретную призму - шестиугольную. Что это за фигура, как найти объем правильной шестиугольной призмы и площадь ее поверхности? Ответы на эти вопросы содержатся в статье.
Фигура призма
Предположим, что мы имеем произвольный многоугольник с числом сторон n, который находится в некоторой плоскости. К каждой вершине этого многоугольника построим вектор, который не будет лежать в плоскости многоугольника. С помощью этой операции мы получим n одинаковых векторов, вершины которых образуют многоугольник, в точности равный исходному. Фигура, ограниченная двумя одинаковыми многоугольниками и параллельными линиями, соединяющими их вершины, называется призмой.
Гранями призмы являются два основания, представленные многоугольниками с n сторонами, и боковые n поверхностей-параллелограммов. Количество ребер Р фигуры связано с числом ее вершин В и граней Г формулой Эйлера:
Для многоугольника с n сторонами получаем n + 2 грани и 2 * n вершин. Тогда количество ребер будет равно:
Р = В + Г - 2 = 2 * n + n + 2 - 2 = 3 * n
Самой простой призмой является треугольная, то есть основанием у нее является треугольник.
Классификация призм достаточно разнообразна. Так, они могут быть правильными и неправильными, прямоугольными и косоугольными, выпуклыми и вогнутыми.
Шестиугольная призма
Эта статья посвящена вопросу объема правильной шестиугольной призмы. Сначала познакомимся ближе с этой фигурой.
Как следует из названия, основание шестиугольной призмы является многоугольником с шестью сторонами и шестью углами. В общем случае таких многоугольников можно составить великое множество, однако для практики и для решения геометрических задач важен один единственный случай - правильный шестиугольник. У него все стороны равны между собой, а каждый из 6 углов составляет 120 o . Построить этот многоугольник можно легко, если разделить окружность на 6 равных частей тремя диаметрами (они должны пересекаться под углами 60 o).
Правильная шестиугольная призма предполагает не только наличие правильного многоугольника в ее основании, но и тот факт, что все боковые стороны фигуры должны являться прямоугольниками. Это возможно только в случае, если боковые грани будут перпендикулярны шестиугольным основаниям.
Правильная шестиугольная призма - это достаточно совершенная фигура, которая встречается в быту и природе. Стоит только вспомнить о форме пчелиных сот или о шестигранном гаечном ключе. В области нанотехнологий также часто встречаются шестиугольные призмы. Например, кристаллические решетки ГПУ и C32, которые реализуются при определенных условиях в титане и цирконии, а также решетка графита имеют форму шестиугольных призм.
Площадь поверхности шестиугольной призмы
Перейдем теперь непосредственно к вопросу вычисления площади и объема призмы. Сначала рассчитаем площадь поверхности этой фигуры.
Площадь поверхности любой призмы вычисляется с помощью следующего равенства:
То есть искомая площадь S равна сумме площадей двух оснований S o и площади боковой поверхности S b . Для определения величины S o можно поступить двумя способами:
- Вычислить ее самостоятельно. Для этого шестиугольник разбивается на 6 равносторонних треугольников. Зная, что площадь одного треугольника равна половине произведения высоты на основание (длину стороны шестиугольника), можно найти площадь рассматриваемого многоугольника.
- Воспользоваться известной формулой. Она приведена ниже:
S n = n / 4 * a 2 * ctg(pi / n)
Здесь a - длина стороны правильного многоугольника, имеющего n вершин.
Очевидно, что оба способа приводят к одному результату. Для правильного шестиугольника площадь равна:
S o = S 6 = 3 * √3 * a 2 / 2
Площадь боковой поверхности найти просто, для этого следует умножить основание каждого прямоугольника a на высоту призмы h, полученное значение умножить на число таких прямоугольников, то есть на 6. В итоге:
Пользуясь формулой для полной площади поверхности, для правильной шестиугольной призмы получаем:
S = 3 * √3 * a 2 + 6 * a * h = 3 * a * (√3 * a + 2 * h)
Как найти объем призмы?
Объем - это физическая величина, которая отражает область пространства, занимаемую объектом. Для призмы рассчитать эту величину можно по следующей формуле:
Это выражение дает ответ на вопрос о том, как найти объем призмы произвольной формы, то есть необходимо площадь основания S o умножить на высоту фигуры h (расстояние между основаниями).
Заметим, что приведенное выражение справедливо для любой призмы, включая вогнутые и косоугольные фигуры, образованные неправильными многоугольниками в основании.
Формула объема призмы шестиугольной правильной
На данный момент мы рассмотрели все необходимые теоретические выкладки, чтобы получить выражение для объема рассматриваемой призмы. Для этого достаточно площадь основания умножить на длину бокового ребра, которая является высотой фигуры. В итоге шестиугольной призмы примет вид:
V = 3 * √3 * a 2 * h / 2
Таким образом, расчет объема рассматриваемой призмы предполагает знание всего двух величин: длины стороны ее основания и высоты. Эти две величины однозначно определяют объем фигуры.
Сравнение объемов и цилиндра
Выше было сказано, что основание шестиугольной призмы может быть легко построено с использованием окружности. Также известно, что если увеличивать число сторон правильного многоугольника, то его форма будет приближаться к окружности. В связи с этим представляет интерес рассчитать, на сколько объем правильной шестиугольной призмы отличается от этого значения для цилиндра.
Для ответа на поставленный вопрос необходимо вычислить длину стороны шестиугольника, вписанного в окружность. Можно легко показать, что она равна радиусу. Обозначим радиус окружности буквой R. Предположим, что высота цилиндра и призмы равна некоторому значению h. Тогда объем призмы равен следующему значению:
V p = 3 * √3 * R 2 * h / 2
Объем цилиндра определяется по той же формуле, что и объем для произвольной призмы. Учитывая, что площадь круга равна pi * R 2 , для объема цилиндра имеем:
Найдем отношение объемов этих фигур:
V p / V с = 3 * √3 * R 2 * h / 2 / (pi * R 2 * h) = 3 * √3 / (2 * pi)
Число "пи" равно 3,1416. Подставляя его, получаем:
Таким образом, объем правильной шестиугольной призмы составляет около 83 % от объема цилиндра, в который она вписана.
Определение объемов геометрических тел является одной из важных задач пространственной геометрии. В данной статье рассматривается вопрос, что такое призма с шестиугольным основанием, а также приводится формула объема правильной шестиугольной призмы.
Определение призмы
С точки зрения геометрии призмой называется фигура в пространстве, которая образована двумя одинаковыми многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях. А также несколькими параллелограммами, которые эти многоугольники соединяют в единую фигуру.
В трехмерном пространстве призму произвольной формы можно получить, если взять любой многоугольник и отрезок. Причем последний плоскости многоугольника принадлежать не будет. Тогда, располагая этот отрезок от каждой вершины многоугольника, можно получить параллельный перенос последнего в другую плоскость. Образованная таким способом фигура будет призмой.
Чтобы иметь наглядное представление о рассматриваемом классе фигур, приведем рисунок четырехугольной призмы.
Многие знают эту фигуру под названием параллелепипеда. Видно, что два одинаковых многоугольника призмы представляют собой квадраты. Их называют основаниями фигуры. Остальные четыре ее стороны - прямоугольники, то есть это частный случай параллелограммов.
Шестиугольная призма: определение и виды
Прежде чем приводить формулу, как определяется объем шестиугольной правильной призмы, необходимо четко понять, о какой фигуре пойдет речь. имеет в основаниях шестиугольник. То есть, плоский многоугольник с шестью сторонами, углов столько же. Боковые стороны фигуры так же, как и для любой призмы, в общем случае являются параллелограммами. Сразу отметим, что шестиугольное основание может быть представлено как правильным, так и неправильным шестиугольником.
Расстояние между основаниями фигуры - это ее высота. Далее мы будем обозначать ее буквой h. Геометрически высота h представляет собой отрезок, перпендикулярный обоим основаниям. Если этот перпендикуляр:
- опущен с геометрического центра одного из оснований;
- пересекает второе основание также в геометрическом центре.
Фигура в этом случае называется прямой. В любом другом случае призма будет косоугольной или наклонной. Разницу между этими видами шестиугольной призмы можно увидеть с первого взгляда.
Прямая шестиугольная призма - это фигура, имеющая в основании правильные шестиугольники. При этом она является прямой. Рассмотрим подробнее ее свойства.
Элементы правильной шестиугольной призмы
Чтобы понять, как вычислить объем правильной шестиугольной призмы (формула приведена ниже в статье), необходимо также разобраться, из каких элементов состоит фигура, а также какими свойствами она обладает. Чтобы было легче анализировать фигуру, покажем ее на рисунке.
Главными ее элементами являются грани, ребра и вершины. Количества этих элементов подчиняется теореме Эйлера. Если обозначить Р - число ребер, В - количество вершин и Г - граней, тогда можно записать равенство:
Проверим его. Число граней рассматриваемой фигуры равно 8. Две из них - это правильные шестиугольники. Шесть граней представляет собой прямоугольники, это видно из рисунка. Число вершин составляет 12. Действительно, 6 вершин принадлежат одному основанию, и 6 другому. Согласно формуле, число ребер должно равняться 18, что является справедливым. 12 ребер лежат в основаниях и 6 образуют параллельные друг другу стороны прямоугольников.
Переходя к получению формулы объема правильной шестиугольной призмы, следует остановить свое внимание на одном важном свойстве этой фигуры: прямоугольники, образующие боковую поверхность, равны между собой и перпендикулярны обоим основаниям. Это приводит к двум важным следствиям:
- Высота фигуры равна длине ее бокового ребра.
- Любое сечение боковой , выполненное с помощью секущей плоскости, которая параллельна основаниям, является правильным шестиугольником, равным этим основаниям.
Площадь шестиугольника
Можно интуитивно догадаться, что эта площадь основания фигуры появится в формуле объема правильной призмы шестиугольной. Поэтому в данном пункте статьи найдем эту площадь. Правильный шестиугольник, разделенный на 6 одинаковых треугольников, вершины которых пересекаются в его геометрическом центре, показан ниже:
Каждый из этих треугольников является равносторонним. Доказать это не очень сложно. Поскольку вся окружность имеет 360 o , то углы треугольников вблизи геометрического центра шестиугольника равны 360 o /6=60 o . Расстояния от геометрического центра до вершин шестиугольника являются одинаковыми.
Последнее означает, что все 6 треугольников будут равнобедренными. Поскольку один из углов равнобедренных треугольников равен 60 o , значит, два остальных угла тоже равны по 60 o . ((180 o -60 o)/2) - треугольники равносторонние.
Обозначим длину стороны шестиугольника буквой a. Тогда площадь одного треугольника будет равна:
S 1 = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a 2 .
Формула получена на основании стандартного выражения для площади треугольника. Тогда площадь S 6 для шестиугольника будет:
S 6 = 6*S 1 = 6*√3/4*a 2 = 3*√3/2*a 2 .
Формула определения объема правильной шестиугольной призмы
Чтобы записать формулу для объема рассматриваемой фигуры, следует учесть приведенную выше информацию. Для произвольной призмы объем пространства, ограниченный ее гранями, вычисляется так:
То есть, V равен произведению площади основания S o на высоту h. Поскольку мы знаем, что высота h равна длине бокового ребра b для шестиугольной правильной призмы, а площадь ее основания соответствует S 6 , то формула объема правильной шестиугольной призмы примет вид:
V 6 = 3*√3/2*a 2 *b.
Пример решения геометрической задачи
Дана шестиугольная правильная призма. Известно, что она вписана в цилиндр радиусом 10 см. Высота призмы в два раза больше стороны ее основания. Необходимо найти объем фигуры.
Чтобы найти требуемую величину, необходимо знать длину стороны и бокового ребра. При рассмотрении правильного шестиугольника было показано, что его геометрический центр расположен в середине описанной вокруг него окружности. Радиус последней равен расстоянию от центра до любой из вершин. То есть он равен длине стороны шестиугольника. Эти рассуждения приводят к следующим результатам:
a = r = 10 см;
b = h = 2*a = 20 см.
Подставляя эти данные в формулу объема правильной шестиугольной призмы, получим ответ: V 6 ≈5196 см 3 или около 5,2 литра.
Правильная шестиугольная призма - призма, в основаниях которой лежат два правильных шестиугольника, а все боковые грани строго перпендикулярны этим основаниям.
- A B C D E F A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 - правильная шестиугольная призма
- a - длина стороны основания призмы
- h - длина бокового ребра призмы
- S осн . - площадь основания призмы
- S бок . - площадь боковой грани призмы
- S полн . - площадь полной поверхности призмы
- V призмы - объем призмы
Площадь оснований призмы
В основаниях призмы находятся правильные шестиугольники со стороной a
. По свойствам правильного шестиугольника, площадь оснований призмы равна
Таким образ
S осн . = 3 3 √ 2 ⋅ a 2
Таким образом, получается, что S A B C D E F = S A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 = 3 3 √ 2 ⋅ a 2
Площадь полной поверхности призмы
Площадь полной поверхности призмы складывается из площадей боковых граней призмы и площадей ее оснований. Каждая из боковых граней призмы является прямоугольником со сторонами a и h . Следовательно, по свойствам прямоугольника
S
бок . = a ⋅ hУ призмы шесть боковых граней и два основания, следовательно, площадь ее полной поверхности равна
S полн . = 6 ⋅ S бок . + 2 ⋅ S осн . = 6 ⋅ a ⋅ h + 2 ⋅ 3 3 √ 2 ⋅ a 2
Объем призмы
Объем призмы вычисляется как произведение площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной призмы является любое из ее боковых ребер, например, ребро A A 1 . В основании правильной шестиугольной призмы находится правильный шестиугольник, площадь которого нам известна. Получаем
V призмы = S осн . ⋅ A A 1 = 3 3 √ 2 ⋅ a 2 ⋅ h
Правильный шестиугольник в основаниях призмы
Рассматриваем правильный шестиугольник ABCDEF, лежащий в основании призмы.
Проводим отрезки AD, BE и CF. Пусть пересечением этих отрезков является точка O.
По свойствам правильного шестиугольника, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA являются правильными треугольниками. Отсюда следует, что
A O = O D = E O = O B = C O = O F = a
Проводим отрезок AE, пересекающийся с отрезком CF в точке M. Треугольник AEO равнобедренный, в нём A O = O E = a , ∠ E O A = 120 ∘ . По свойствам равнобедренного треугольника.
A E = a ⋅ 2 (1 − cos E O A ) − − − − − − − − − − − − √ = 3 √ ⋅ a
Аналогичным образом приходим к заключению, что A C = C E = 3 √ ⋅ a , F M = M O = 1 2 ⋅ a .
Находим E A 1
В треугольнике A E A 1 :
- A A 1 = h
- A E = 3 √ ⋅ a - как мы только что выяснили
- ∠ E A A 1 = 90 ∘
A E A 1
E A 1 = A A 2 1 + A E 2 − − − − − − − − − − √ = h 2 + 3 ⋅ a 2 − − − − − − − − √
Если h = a , то тогда E A 1 = 2 ⋅ a
F
B
1
=
A
C
1
=
B
D
1
=
C
E
1
=
D
F
1
=
h
2
+
3
⋅
a
2
−
−
−
−
−
−
−
−
√
.
В треугольнике B E B 1 :
- B B 1 = h
- B E = 2 ⋅ a - потому что E O = O B = a
- ∠ E B B 1 = 90 ∘ - по свойствам правильной прязмы
Таким образом, получается, что треугольник B E B 1 прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника
E B 1 = B B 2 1 + B E 2 − − − − − − − − − − √ = h 2 + 4 ⋅ a 2 − − − − − − − − √
Если h = a , то тогда
E B 1 = 5 √ ⋅ a
После аналогичных рассуждений получаем, что F
C
1
=
A
D
1
=
B
E
1
=
C
F
1
=
D
A
1
=
h
2
+
4
⋅
a
2
−
−
−
−
−
−
−
−
√
.
Находим O F 1
В треугольнике F O F 1 :
- F F 1 = h
- F O = a
- ∠ O F F 1 = 90 ∘ - по свойствам правильной призмы
Таким образом, получается, что треугольник F O F 1 прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника
O F 1 = F F 2 1 + O F 2 − − − − − − − − − − √ = h 2 + a 2 − − − − − − √
Если h = a , то тогда
Разные призмы непохожи друг на друга. В то же время у них много общего. Чтобы найти площадь основания призмы, потребуется разобраться в том, какой вид оно имеет.
Общая теория
Призмой является любой многогранник, боковые стороны которого имеют вид параллелограмма. При этом в ее основании может оказаться любой многогранник - от треугольника до n-угольника. Причем основания призмы всегда равны друг другу. Что не относится к боковым граням — они могут существенно различаться по размерам.
При решении задач встречается не только площадь основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, то есть всех граней, которые не являются основаниями. Полной поверхностью уже будет объединение всех граней, которые составляют призму.
Иногда в задачах фигурирует высота. Она является перпендикуляром к основаниям. Диагональю многогранника является отрезок, который соединяет попарно две любые вершины, не принадлежащие одной грани.
Следует отметить, что площадь основания прямой призмы или наклонной не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые фигуры в верхней и нижней гранях, то их площади будут равными.
Треугольная призма
Она имеет в основании фигуру, имеющую три вершины, то есть треугольник. Он, как известно, бывает разным. Если то достаточно вспомнить, что его площадь определяется половиной произведения катетов.
Математическая запись выглядит так: S = ½ ав.
Чтобы узнать площадь основания в общем виде, пригодятся формулы: Герона и та, в которой берется половина стороны на высоту, проведенную к ней.
Первая формула должна быть записана так: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). В этой записи присутствует полупериметр (р), то есть сумма трех сторон, разделенная на два.
Вторая: S = ½ н а * а.
Если требуется узнать площадь основания треугольной призмы, которая является правильной, то треугольник оказывается равносторонним. Для него существует своя формула: S = ¼ а 2 * √3.
Четырехугольная призма
Ее основанием является любой из известных четырехугольников. Это может быть прямоугольник или квадрат, параллелепипед или ромб. В каждом случае для того, чтобы вычислить площадь основания призмы, будет нужна своя формула.
Если основание — прямоугольник, то его площадь определяется так: S = ав, где а, в — стороны прямоугольника.
Когда речь идет о четырехугольной призме, то площадь основания правильной призмы вычисляется по формуле для квадрата. Потому что именно он оказывается лежащим в основании. S = а 2 .
В случае когда основание — это параллелепипед, будет нужно такое равенство: S = а * н а. Бывает такое, что даны сторона параллелепипеда и один из углов. Тогда для вычисления высоты потребуется воспользоваться дополнительной формулой: н а = в * sin А. Причем угол А прилегает к стороне «в», а высота н а противолежащая к этому углу.
Если в основании призмы лежит ромб, то для определения его площади будет нужна та же формула, что для параллелограмма (так как он является его частным случаем). Но можно воспользоваться и такой: S = ½ d 1 d 2 . Здесь d 1 и d 2 - две диагонали ромба.
Правильная пятиугольная призма
Этот случай предполагает разбиение многоугольника на треугольники, площади которых узнать проще. Хотя бывает, что фигуры могут быть с другим количеством вершин.
Поскольку основание призмы — правильный пятиугольник, то он может быть разделен на пять равносторонних треугольников. Тогда площадь основания призмы равна площади одного такого треугольника (формулу можно посмотреть выше), умноженной на пять.
Правильная шестиугольная призма
По принципу, описанному для пятиугольной призмы, удается разбить шестиугольник основания на 6 равносторонних треугольников. Формула площади основания такой призмы подобна предыдущей. Только в ней следует умножать на шесть.
Выглядеть формула будет таким образом: S = 3/2 а 2 * √3.
Задачи
№ 1. Дана правильная прямая Ее диагональ равна 22 см, высота многогранника — 14 см. Вычислить площадь основания призмы и всей поверхности.
Решение. Основанием призмы является квадрат, но его сторона не известна. Найти ее значение можно из диагонали квадрата (х), которая связана с диагональю призмы (d) и ее высотой (н). х 2 = d 2 - н 2 . С другой стороны, этот отрезок «х» является гипотенузой в треугольнике, катеты которого равны стороне квадрата. То есть х 2 = а 2 + а 2 . Таким образом получается, что а 2 = (d 2 - н 2)/2.
Подставить вместо d число 22, а «н» заменить его значением — 14, то получается, что сторона квадрата равна 12 см. Теперь просто узнать площадь основания: 12 * 12 = 144 см 2 .
Чтобы узнать площадь всей поверхности, нужно сложить удвоенное значение площади основания и учетверенную боковую. Последнюю легко найти по формуле для прямоугольника: перемножить высоту многогранника и сторону основания. То есть 14 и 12, это число будет равно 168 см 2 . Общая площадь поверхности призмы оказывается 960 см 2 .
Ответ. Площадь основания призмы равна 144 см 2 . Всей поверхности - 960 см 2 .
№ 2. Дана В основании лежит треугольник со стороной 6 см. При этом диагональ боковой грани составляет 10 см. Вычислить площади: основания и боковой поверхности.
Решение. Так как призма правильная, то ее основанием является равносторонний треугольник. Поэтому его площадь оказывается равна 6 в квадрате, умноженному на ¼ и на корень квадратный из 3. Простое вычисление приводит к результату: 9√3 см 2 . Это площадь одного основания призмы.
Все боковые грани одинаковые и представляют собой прямоугольники со сторонами 6 и 10 см. Чтобы вычислить их площади, достаточно перемножить эти числа. Потом умножить их на три, потому что боковых граней у призмы именно столько. Тогда площадь боковой поверхности оказывается раной 180 см 2 .
Ответ. Площади: основания - 9√3 см 2 , боковой поверхности призмы - 180 см 2 .