>

Формула суммы внутренних углов многоугольника. Теорема о сумме углов многоугольника

Видеоурок 2: Многоугольники. Решение задач

Лекция: Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника

Многоугольники – это фигуры, которые окружают нас везде – это и форма сот, в которых пчелы хранят свой мед, архитектурные сооружения, а так же многое другое.

Как уже говорилось ранее, многоугольники – это фигуры, у которых больше двух углов. Они состоять из замкнутой ломаной линии.

Причем углы многоугольников могут быть наружные и внутренние. Например, звезда – это фигура, которая имеет 10 углов, при этом некоторые из них выпуклые, а другие вогнутые:


Примеры выпуклых многоугольников:



Обратите внимание, на рисунке показаны правильные многоугольники – именно такие подробно изучаются в школьном курсе математики.


У любого многоугольника количество вершин совпадает с количеством сторон. Так же обратите внимание, что соседними вершинами называются те, которые имеют одну общую сторону. Например, у треугольника все вершины соседние.


Чем больше углов у правильного многоугольника, тем больше их градусная мера. Однако, градусная мера угла выпуклого многоугольника не может быть больше или равной 180 градусам.


Чтобы определить общую градусную меру многоугольника, необходимо воспользоваться формулой.

Пусть - данный выпуклый многоугольник и n > 3. Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам n-3 диагонали: . Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n - 2 треугольника: . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n-2. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180°(n-2). Теорема доказана.

Замечание

Для невыпуклого n-угольника сумма углов также равна 180°(n-2). Доказательство аналогично, но использует в дополнение лемму о том, что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники.

Примечания

Теорема о сумме углов многоугольника для многоугольников на сфере не выполняется (а также на любой другой искажённой плоскости, кроме некоторых случаев). Подробнее смотрите неевклидовы геометрии .

См. также


Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Теорема о сумме углов многоугольника" в других словарях:

    Треугольник Теорема о сумме углов треугольника классическая теорема евклидовой геометрии. Утверждает, что … Википедия

    - … Википедия

    Утверждает, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Более формально: Пусть P и Q суть два многоугольника с одинаковой площадью. Тогда их можно разрезать соответственно на многоугольники и, так что для любого … Википедия

    Теорема Бойяи Гервина утверждает, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Более формально: Пусть и суть два многоугольника с одинаковой площадью. Тогда их можно разрезать соответственно на многоугольники и, так что для… … Википедия

    - … Википедия

    У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия

Внутренний угол многоугольника - это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.

Внешний угол многоугольника - это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.

s = 2d (n - 2)

где s - это сумма углов, 2d - два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n - количество сторон.

Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d ), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:

s = 2d (n - 2) = 180 · 4 = 720°

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d ).

s = 4d

где s - это сумма внешних углов, 4d - четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d ), так как они являются смежными углами . Например, ∠1 и ∠2 :

Следовательно, если многоугольник имеет n сторон (и n вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех n вершинах будет равна 2dn . Чтобы из этой суммы 2dn получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть 2d (n - 2):

s = 2dn - 2d (n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Геометрическая фигура, составленная из отрезков AB,BC,CD, .., EF, FA таким образом, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек, называется многоугольником. Концы данных отрезков, точки A,B,С, D, …, E,F называются вершинами многоугольника, а сами отрезки AB,BC,CD, .., EF, FA - сторонами многоугольника.

Многоугольник называется выпуклым, если он по одну сторону от каждой прямой, которая проходит через две его смежные вершины. На рисунке ниже представлен выпуклый многоугольник:

А следующий рисунок иллюстрирует невыпуклый многоугольник:

Углом выпуклого многоугольника при данной вершине будет называться угол, образованный сторонами этого многоугольника, сходящимися в данной вершине. Внешним углом выпуклого многоугольника в некоторой вершине называется угол смежный с внутренним углом многоугольника при данной вершине.

Теорема: Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180˚ *(n-2)

Доказательство: рассмотрим выпуклый n-угольник. Чтобы найти сумму всех внутренних углов, соединим одну из вершин многоугольника с другими вершинами.

В результате получим (n-2) треугольника. Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. А так как их количество в многоугольнике (n-2), то сумма углов многоугольника равна 180˚ *(n-2). Это и требовалось доказать.

Задача:

Найти сумму углов выпуклого a) пятиугольник б) шестиугольника в)десятиугольника.

Воспользуемся формулой для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника.

а) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.

б) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

в) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

Ответ: а) 540˚. б) 720˚. в) 1440˚.