Монотонная последовательность. Теорема вейерштрасса о пределе монотонной последовательности Последовательность не является монотонной

Определение 1. Последовательностьназываетсяубывающей (невозрастающей ), если для всех
выполняется неравенство
.

Определение 2. Последовательность
называетсявозрастающей (неубывающей ), если для всех
выполняется неравенство
.

Определение 3. Убывающие, невозрастающие, возрастающие и неубывающие последовательности называютсямонотонными последовательностями, убывающие и возрастающие последовательности называют такжестрого монотонными последовательностями.

Очевидно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, невозрастающая последовательность ограничена сверху. Поэтому всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны.

Пример 1. Последовательность
возрастает,не убывает,
убывает,
не возрастает,
– немонотонная последовательность.

Для монотонных последовательностей важную роль играет следующая

Теорема 1. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.

Доказательство . Пусть последовательность
не убывает и ограничена сверху, т.е.
и множество
ограничено сверху. По теореме 1 § 2 существует
. Докажем, что
.

Возьмем
произвольно. Посколькуа – точная верхняя граница, существует номерN такой, что
. Так как последовательность неубывающая, то для всех
имеем, т.е.
, поэтому
для всех
, а это и означает, что
.

Для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу, доказательство проводится аналогично (студенты могут доказать это утверждение дома самостоятельно ). Теорема доказана.

Замечание . Теорему 1 можно сформулировать иначе.

Теорема 2. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.

Достаточность установлена в теореме 1, необходимость – в теореме 2 § 5.

Условие монотонности не является необходимым для сходимости последовательности, так как сходящаяся последовательность не обязательно монотонна. Например, последовательность
не монотонная, однако сходится к нулю.

Следствие . Если последовательность
возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то
(
).

Действительно, по теореме 1
(
).

Определение 4. Еслии
при
, то последовательностьназываетсястягивающейся системой вложенных отрезков .

Теорема 3 (принцип вложенных отрезков). У всякой стягивающейся системы вложенных отрезков существует, и притом единственная, точкас , принадлежащая всем отрезкам этой системы.

Доказательство . Докажем, что точкас существует. Поскольку
, то
и, следовательно, последовательность
не убывает, а последовательность
не возрастает. При этом
и
ограничены, так как. Тогда по теореме 1 существуют
и
, но так как
, то
=
. Найденная точкас принадлежит всем отрезкам системы, так как по следствию теоремы 1
,
, т.е.
для всех значенийn .

Покажем теперь, что точка с – единственная. Предположим, что таких точек две:с иd и пусть для определенности
. Тогда отрезок
принадлежит всем отрезкам
, т.е.
для всехn , что невозможно, так как
и, значит, начиная с некоторого номера,
. Теорема доказана.

Отметим, что здесь существенно то, что рассматриваются замкнутые промежутки, т.е. отрезки. Если рассмотреть систему стягивающихся интервалов, то принцип, вообще говоря, неверен. Например, интервалы
, очевидно, стягиваются в точку
, однако точка
не принадлежит ни одному интервалу этой системы.

Рассмотрим теперь примеры сходящихся монотонных последовательностей.

1) Число е .

Рассмотрим теперь последовательность
. Как она себя ведет? Основание

степени
, поэтому
? С другой стороны,
, а
, поэтому
? Или предел не существует?

Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим вспомогательную последовательность
. Докажем, что она убывает и ограничена снизу. При этом нам будет нужна

Лемма . Если
, то для всех натуральных значенийn имеем

(неравенство Бернулли).

Доказательство . Воспользуемся методом математической индукции.

Если
, то
, т.е. неравенство верно.

Предположим, что оно верно для
и докажем его справедливость для
+1.

Верно
. Умножим это неравенство на
:

Таким образом, . Значит, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли верно для всех натуральных значенийn . Лемма доказана.

Покажем, что последовательность
убывает. Имеем

‌‌‌׀неравенство Бернулли׀
,а это и означает, что последовательность
убывает.

Ограниченность снизу следует из неравенства
‌‌‌׀неравенство Бернулли׀
для всех натуральных значенийn .

По теореме 1 существует
, который обозначают буквойе . Поэтому
.

Число е иррационально и трансцендентно,е = 2,718281828… . Оно является, как известно, основанием натуральных логарифмов.

Замечания . 1) Неравенство Бернулли можно использовать для доказательства того, что
при
. Действительно, если
, то
. Тогда, по неравенству Бернулли,при
. Отсюда при
имеем
, то есть
при
.

2) В рассмотренном выше примере основание степени стремится к 1, а показатель степениn – к, то есть имеет место неопределенность вида. Неопределенность такого вида, как мы показали, раскрывается с помощью замечательного предела
.

2)
(*)

Докажем, что эта последовательность сходится. Для этого покажем, что она ограничена снизу и не возрастает. При этом воспользуемся неравенством
для всех
, которое является следствием неравенства
.

Имеем
см. неравенство выше
, т.е. последовательность ограничена снизу числом
.

Далее,
так как

, т.е. последовательность не возрастает.

По теореме 1 существует
, который обозначимх . Переходя в равенстве (*) к пределу при
, получим

, т.е.
, откуда
(берем знак «плюс», так как все члены последовательности положительны).

Последовательность (*) применяется при вычислении
приближенно. Заберут любое положительное число. Например, найдем
. Пусть
. Тогда
,. Таким образом,
.

3)
.

Имеем
. Поскольку
при
, существует номерN , такой, что для всех
выполняется неравенство
. Таким образом, последовательность
, начиная с некоторого номераN , убывает и ограничена снизу, так как
для всех значенийn . Значит, по теореме 1 существует
. Поскольку
, имеем
.

Итак,
.

4)
, справа –n корней.

Методом математической индукции покажем, что
для всех значенийn . Имеем
. Пусть
. Тогда, отсюда получаем утверждение по принципу математической индукции. Используя этот факт, находим, т.е. последовательность
возрастает и ограничена сверху. Поэтому существует, так как
.

Таким образом,
.

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x n , то говорят, что задана числовая последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

Число x 1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности , число x 2 - членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число x n называют членом последовательности с номером n .

Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью и с помощью рекуррентной формулы .

Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности

x 1 , x 2 , … x n , …

с помощью формулы, выражающей зависимость члена x n от его номера n .

Пример 1 . Числовая последовательность

1, 4, 9, … n 2 , …

задана с помощью формулы общего члена

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности x n через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы .

x 1 , x 2 , … x n , …

называют возрастающей последовательностью, больше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n

x n + 1 > x n

Пример 3 . Последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, … n , …

является возрастающей последовательностью .

Определение 2. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

x n + 1 < x n

Пример 4 . Последовательность

заданная формулой

является убывающей последовательностью .

Пример 5 . Числовая последовательность

1, - 1, 1, - 1, …

заданная формулой

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями .

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 4. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M .

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

Определение 5. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m .

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

Определение 6. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

m < x n < M

Определение 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными , называют неограниченными последовательностями .

Пример 6 . Числовая последовательность

1, 4, 9, … n 2 , …

заданная формулой

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

ограничена снизу , например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху .

Пример 7 . Последовательность

заданная формулой

является ограниченной последовательностью , поскольку для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

Любая монотонная ограниченная последовательность { x n } имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup { x n } для неубывающей и точной нижней границе, inf { x n } для невозрастающей последовательности.
Любая монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.

Доказательство

1) неубывающей ограниченной последовательностью .

(1.1) .

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную верхнюю границу
.
Это означает, что:

• для всех n ,
  (1.2) ;
• для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε , так что
  (1.3) .

.
Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Первая часть теоремы доказана.

2) Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью :
(2.1) для всех n .

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную нижнюю границу
.
Это означает следующее:

• для всех n выполняются неравенства:
  (2.2) ;
• для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε , для которого
  (2.3) .

.
Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Вторая часть теоремы доказана.

Теперь рассмотрим неограниченные последовательности.
3) Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью .

Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства:
(3.1) .

Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого
(3.2) .

Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (3.2).

.
Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности:
.
Третья часть теоремы доказана.

4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью .

Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то
(4.1) для всех n .

Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого
(4.2) .

Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.

Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M , так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности:
.
Теорема доказана.

Пример решения задачи

Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
, , . . . , , . . .
После чего найти ее предел.

Представим последовательность в виде рекуррентных формул:
,
.

Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением
(П1) .
Доказательство выполняем методом математической индукции.
.
Пусть . Тогда
.
Неравенство (П1) доказано.

Докажем, что последовательность монотонно возрастает.
;
(П2) .
Поскольку , то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому
.
То есть последовательность является строго возрастающей.

Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.

Найдем этот предел. Обозначим его через a :
.
Воспользуемся тем, что
.
Применим это к (П2), используя арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей :
.
Условию удовлетворяет корень .

Элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Пусть имеется множество X {\displaystyle X} , на котором введено отношение порядка .

  Последовательность элементов множества X {\displaystyle X} называется неубывающей , если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

  { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - неубывающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩽ x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1}}

  Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется невозрастающей , если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

  { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - невозрастающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩾ x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1}}

  Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется возрастающей , если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

  { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - возрастающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n < x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}

  Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется убывающей , если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

  { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - убывающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n > x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1}}

  монотонной , если она является неубывающей, либо невозрастающей.

  Последовательность называется строго монотонной , если она является возрастающей, либо убывающей.

  Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

  Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» - в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

  Промежутки монотонности

  Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , а лишь для номеров из некоторого диапазона

  I = { n ∈ N ∣ N − ⩽ n < N + } {\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n

  (здесь допускается обращение правой границы N + {\displaystyle N_{+}} в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке I {\displaystyle I} , а сам диапазон I {\displaystyle I} называется промежутком монотонности последовательности.