Теория вероятностей понятие и классификация событий. Классификация случайных событий

Случайные события и их классификация

Классическое определение вероятности

Непосредственное вычисление вероятностей

§ 1. Случайные события и их классификация

1. Втеории вероятностей случайным событием на­зывают то, что при наличии некоторого комплекса условий S может произойти или не произойти. Например, при бросании монеты может выпасть герб или решка, поэтому события «при бросании монеты выпал герб» и «при бросании монеты выпала решка» - случайные события.

При бросании монеты и ее полете на последнюю воздействуют - многие случайные факторы (сила, с которой брошена монета, форма монеты и др.). Поэтому при каждом отдельном бросании монеты предсказать появление герба или решки невозможно, впрочем, в теории вероятностей такой задачи и не ставится. Однако если бросить монету большое число раз, например 10 000 раз или больше, при одном и том же комплексе условий S , то отношение числа т появлений герба к общему числу п, про­веденных опытов с монетой, будет близко к .

Приведем еще один пример: по статистическим данным на каждую 1000 новорожденных приходится 515, т. е. 51,5%, маль­чиков и 485, т. е. 48,5%, девочек с незначительным отклонением в ту или другую сторону от упомянутых чисел. Эта закономер­ность имеет место для всех народов независимо от экономичес­ких, географических и других условий, но наблюдается она лишь тогда, когда события (рождаемость) носят массовый характер.

Теория вероятностей есть раздел математики, изучающий закономерности массовых однородных случайных событий.

Математическая статистика есть также раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обра­ботки и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Математическая статистика пользуется методами различных областей математики и в первую очередь теории вероятностей.

Зарождение и развитие теории вероятностей и математиче­ской статистики, как и всякой другой науки, тесно связано с жиз­ненной потребностью людей, с развитием производительных сил общества. Так, например, организация страховых обществ, пе­репись населения, решение задач, возникавших в азартных играх, методы обработки различных результатов наблюдений, в част­ности, оценка случайных ошибок и многие другие вопросы, реше­ние которых способствовало появлению и развитию этих двух ветвей математики.

Теория вероятностей благодаря трудам Гюйгенса (1629- 1695), Паскаля (1623-1662), П. Ферма (1601-1665) и в особен­ности Я. Бернулли (1654-1705) становится наукой уже в XVII веке.

Крупнейшими представителями этой науки в XVIII и в первой половине XIX века были математики П. Лаплас (1749-1827), К. Гаусс (1777-1855) и С. Пуассон (1781-1840). Работы этих ученых дали возможность применять в теории вероятностей науч­но обоснованные методы.

Особенно быстро теория вероятностей развивалась во второй половине XIX и в XX веке в связи с применением статистических методов исследования различных вопросов и стала теоретичес­кой базой математической статистики. Этот период был ознаме­нован фундаментальными открытиями в области теории вероят­ностей русскими математиками Петербургской математической школы П. Л. Чебышевым (1821-1894) (создателем этой школы) и его знаменитыми учениками А. М. Ляпуновым (1857-1918) и А. А. Марковым (1856-1922).

Современная математическая школа занимает ведущее место во многих отраслях современной математики, в частности, в области теории вероятностей и математической статистики.

Строгое логическое обоснование теории вероятностей произо­шло в XX веке и связано с именами советских математиков, прежде всего с именем А. Н. Колмогорова. Крупнейшими представителями этой области науки являются математики С. Н. Бернштейн, Б. В. Гнеденко, В. И. Романовский, Е. Е. Слуц­кий, Н. В. Смирнов, А. Я. Хинчин, Б. С. Ястремский и др.

2. Подобно тому, как в геометрии первыми понятиями явля­ются точка и прямая, в теории вероятностей первыми понятиями служат событие и вероятность.

Событием называется явление, о котором имеет смысл говорить, что оно произошло или не произошло (происходит или не происходит, произойдет или не произойдет).

События можно подразделить на три вида: достоверные, не­возможные и случайные .

Событие называется достоверны м, если оно при осуще­ствлении данного комплекса условий S обязательно произойдет. Например, если в урне только белые шары, то извлечение из урны белого шара - событие достоверное. Приведем другой пример. В очередном тираже 3%-ного государственного займа событие, что какая-нибудь облигация этого займа выиграет, достоверно.В дальнейшем вместо того, чтобы говорить «при осуществле­нии данного комплекса условий S», будем говорить короче: «при испытании» или «при опыте».

В первом примере, приведенном выше, извлечение из урны шара есть испытание, а появление белого шара - событие.

Во втором примере проведение очередного тиража 3%-ного государственного займа есть испытание (опыт), выигрыш какой-нибудь облигации этого займа - событие.

Событие называется невозможным , если оно при испы­тании не может произойти. Например, в урне содержатся только белые шары. Извлечение из урны черного шара - событие не­возможное.

Событие называется случайным , если оно при испытании может произойти или не произойти. Например, выпадение осад­ков в Минске 1 мая 1980 г.- событие случайное.

Случайные события принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С, ... , достоверные буквой U и не­возможные буквой V . Дадим еще несколько определений.

События
называются совместными (сов­местимыми если появление одно из них не исключает возмож­ности появления других. Например, пусть производится выстрел по цели из каждого орудия, число которых равно трем. Ясно, что не исключается возможность попадания в цель из всех трех ору­дий. Следовательно, эти три события совместные.

Событиями,
называются нес овместимыми (несовместимыми), если наступление одного из них исключает возможность появления любого другого. Например, при бросании монеты выпадение герба исключает возможность появления решки.

События
называются единственно воз­можным и, если при испытании обязательно наступит хотя бы одно из них.

Пример 1. Пусть в урне содержатся белые, черные и красные шары. Извлекаем из урны шар, он может оказаться белым (событие А), черным (событие В) или красным (событие С). По определению эти три события А, В, С - единственно возможные.

События
единственно возможные и несовме­стные называются полной системой событий.

Пример 2. Кубик, на гранях которого обозначено число очков от 1 до 6, называется игральной костью. Предполагается, что кубик сделан из однород­ного материала.

При бросании игральной кости может выпасть одно, два, три, четыре, пять или шесть очков. Обозначим упомянутые события соответственно через,
. Эти события единственно возможные и несовместные, следова­тельно, они образуют полную систему событий.

Два единственно возможных и несовместных события назы­ваются противоположными событиями

Если А - некоторое событие, то противоположное ему собы­тие обозначают .

Пример 3. При бросании монеты может выпасть герб или решка. Эти со­бытия противоположные.

Противоположными событиями также будут: «сдать» и «не сдать» экзамен, «выиграть» и «не выиграть» по лотерейному билету, «попасть» и «не попасть» в цель при выстреле из ружья.

Если при каждом осуществлении комплекса условий S, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то го­ворят, что А влечет за собой В, и этот факт обозначают символом AB или B
А .

Если имеет место одновременно AB или B
А , то события А и В называются равносильными. В этом случае пишут А=В.

Таким образом, равносильные события А и В при каждом испытании оба наступают или оба не наступают.

Пример 4. Игральную кость бросили один раз. Пусть выпало шесть очков (событие А). Обозначим через В четное число, через С - число очков, деля­щееся на 3. Очевидно, что AB AС .

Пример 5. В урне один белый шар и три черных. Все шары перенумеро­ваны. Пусть белый шар имеет номер 1. При извлечении шара из урны событие появления белого шара обозначим буквой А, а событие появления шара 1 обоз­начим буквой В. Очевидно, что AB и В А , т. е. события А и В равно­сильны и поэтому можно написать А =В.

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности массовых однородных случайных явлений.

Основными исходными понятиями в теории вероятностей являются понятия испытания (опыта) и события . Всякое действие, результат которого фиксируется, называется испытанием (опытом), а результат испытания или испытаний называется событием. Будем говорить, что в результате испытания или испытаний происходит (наступает) событие.

Пример 1 . Подбросим над столом монету. При этом возможны два результата: монета упадёт на стол и на верхней её грани будет «герб» или же на верхней грани монеты будет «цифра». В этом случае будем говорить: выпал «герб» или выпала «цифра». В данном примере подбрасывание монеты является испытанием, а выпадение «герба» или выпадение «цифры» являются событиями, т.е. в результате подбрасывания монеты может произойти одно из двух рассмотренных событий.

Пример 2 . Подбросим монету два раза подряд. При этом возможны следующие события: {оба раза выпал «герб»}, {оба раза выпала «цифра»}, {первый раз выпал «герб», а второй раз – «цифра»}, {первый раз выпала «цифра», а второй раз – «герб»}.

Все рассматриваемые события можно подразделить на достоверные, невозможные и случайные .

Событие называется достоверным , если при данном испытании оно обязательно произойдёт. Событие называется невозможным , если при данном испытании оно не может произойти. Случайным называется событие, которое при данном испытании может произойти или не произойти.

Пример 3 . В урне находятся только красные шары. Проведём испытание – извлечём из урны один шар. Событие {извлечён красный шар} является достоверным, так как в урне только красные шары. Событие {извлечён белый шар} является невозможным, так как в урне нет белых шаров.

Пример 4 . Стрелок произвёл один выстрел по мишени. При этом может произойти одно из двух событий: {есть попадание в мишень} или {нет попадания в мишень}. Оба эти события случайные.

Случайные события принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, …; достоверные события – буквой U и невозможные – буквой V .

Случайные события подразделяются на совместные, несовместные и единственно возможные .

События называются совместными , если при одном и том же испытании наступление одного из них не исключает наступление других, т.е. они могут произойти совместно.

События называются несовместными , если при одном и том же испытании наступление одного из них исключает наступление других, т.е. они не могут произойти совместно.

Пример 5 . По цели стреляют два стрелка. Обозначим события:

А = {первый стрелок попал в цель};

В = {второй стрелок попал в цель}.

События А и В будут совместными, так как попадание одного из стрелков в цель не исключает попадание другого.

Пример 6 . Подбрасывается монета. В результате могут произойти события:

А = {выпал «герб»};

В = {выпала «цифра»}.

События А и В несовместны, так как наступление одного из них исключает наступление другого.

События называются единственно возможными , если при данном испытании произойдёт хотя бы одно из них. Два единственно возможные и несовместные события называются противоположными . Если А – некоторое событие, то ему противоположное обозначается . Совокупность единственно возможных и несовместных событий образует полную группу событий .

Пример 7 . В урне находятся белые, чёрные и красные шары. Из урны извлекается один шар. Обозначим события:

А = {извлечён белый шар};

В = {извлечён чёрный шар};

С = {извлечён красный шар}.

События А, В, С являются единственно возможными.

Пример 8 . Стрелок выстрелил по цели. Обозначим события:

А = {есть попадание в цель};

= {нет попадания в цель}.

Эти события являются противоположными.

Пример 9 . Бросается игральный кубик, на гранях которого написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Эти цифры обозначают число очков. При бросании кубика на верхней его грани выпадет одна из этих цифр. Обозначим события.

Предмет теории вероятностей. Случайные события и их классификация. Классическое определение вероятности. Общие принципы комбинаторики.

Вероятность относится к числу таких понятий, которыми мы охотно пользуемся в повседневной жизни, совсем не задумываясь об этом. Например, даже наша речь носит отпечаток стихийно-вероятностного подхода к окружающей нас действительности. Мы часто употребляем слова "вероятно ", "маловероятно ", "невероят­но" . Уже в этих словах имеется попытка оценить возможность появления того или иного события, т.е. попытка дать количественную оценку этой возможности. Идея выражать числами степень возможности появления тех или иных событий возникла после того, как люди попытались обобщить достаточно большое число наблюдений за явлениями, в которых проявляется свойство устойчивости, т.е. способность повторяться довольно часто.

Например, нельзя заранее определить результат одного подбрасывания монеты. Но если подбрасывать монету достаточно большое число раз, то почти наверняка можно утверждать, что примерно половину раз она упадет на "орла", а половину на "решку". Число подобных примеров, в которых интуитивное представление о численном значении вероятности того или иного события, можно привести очень много. Однако все подобные примеры сопровождаются неопределенными понятиями типа "честное" подбрасывание, "правильная" монета и т.п. Теория вероятностей стала наукой лишь тогда, когда были выявлены основные понятия теории вероятностей, четко сформулировано само понятие вероятности, построена вероятностная аксиоматическая модель.

Любая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии понятия точки, прямой, плоскости, линии, поверхности; в математическом анализе – функции, предела, дифференциала, интеграла; в механике – силы, массы, скорости, ускорения. Естественно, что такие понятия есть и в теории вероятностей. Одним из таких основных понятий является понятие случайного события .

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ

Случайные события и их классификация

Под событием будем понимать любое явление, которое происходит в результате осуществления определенного комплекса условий. Осуществление этого комплекса условий называют экспериментом (опытом, испытанием ). Заметим, что в проведении опыта необязательно должен участвовать сам исследователь. Опыт можно поставить мысленно, или он может протекать независимо от него; в последнем случае исследователь выступает в качестве наблюдателя.

Событие называется достоверным , если оно непременно должно произойти при выполнении определенных условий. Так, достоверным является выпадение не более шести очков при бросании обычной игральной кости; утверждение, что вода является находится в жидком состоянии при +20 0 С в нормальных условиях, и т.п. Событие называется невозможным , если оно заведомо не наступит при выполнении определенных условий. Так, невозможным событием является утверждение, что можно извлечь более четырех тузов из обычной колоды карт; или утверждение Мюнхгаузена, что он мог поднять себя за волосы, и т.п. Событие называется случайным, если оно может либо произойти, либо не произойти при выполнении определенных условий. Например, выпадение «орла» при бросании монеты; попадание в цель при одном выстреле по мишени и т.п.

В теории вероятностей любое событие рассматривается как результат некоторого эксперимента. Поэтому события часто называют исходами . При этом исход того или иного эксперимента должен зависеть от ряда случайных факторов, т.е. любой исход должен являться случайным событием; в противном случае, такими событиями должны заниматься другие науки. Особо следует отметить, что в теории вероятностей рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторить (воспроизвести) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере теоретически). То есть, теория вероятностей изучает лишь такие события, в отношении которых имеет смысл не только утверждение об их случайности, но и возможна объективная оценка доли случаев их появления. В связи с этим, подчеркнем, что теория вероятностей не занимается изучением уникальных событий, как бы они ни были интересными сами по себе. Например, утверждение, что в данном месте в данное время произойдет землетрясение, относится к числу случайных событий. Однако подобные события уникальны, поскольку их нельзя воспроизвести.

Другой пример, событие, состоящее в том, что данный механизм проработает больше года, является случайным, но уникальным. Конечно, каждый механизм индивидуален по своим качествам, но этих механизмов может изготовляться очень много, причем изготовленных в одних и тех же условиях. Испытания многих сходных объектов дает ту информацию, которая позволяет оценить долю числа появления рассматриваемого случайного события. Таким образом, в теории вероятностей имеют дело с повторением испытаний двух типов : 1) повторение испытаний для одного и того же объекта ; 2) испытание многих сходных объектов .

В дальнейшем для краткости слово «случайный» будем опускать. События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д.

События A и B называются несовместными , если наступление одного из них исключает возможность появления другого. Например, при подбрасывании монеты могут наступить два события: выпадет "орел" или "решка". Однако, одновременно эти события, при одном подбрасывании, появится не могут. Если в результате испытания возможно одновременное появление событий A и B, то такие события называются совместными . Например, выпадение четного числа очков при подбрасывании игральной кости (событие А) и числа очков, кратного трем (событие В) будут совместными, ибо выпадение шести очков означает наступление и события А, и события В.

Основы теории вероятностей.

Теория вероятностей

Событие

Выделяют три вида событий:

а) достоверные

б) невозможные

с) случайные

Достоверное событие например:

Невозможное событие например:

Случайное событие например:

События называются массовыми например:

Равновозможные события например:

Совместные события например:

Несовместные события например

полную группу событий например:

Противоположные события например:

Вероятность случайного события.

Вероятность случайного события (обозначается Р(А)) –это число, которое говорит нам о степени возможности наступления события .

Существуют два определения вероятности: классическое и статистическое, каждое из них имеет свои достоинства и недостатки.

Классическое определение вероятности.

Вероятность события – это отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию (m ), к общему числу всех несовместных и равновозможных исходов данного опыта (n ).

Если А – случайное событие, то

Если А – достоверное событие , то

Если А – невозможное событие , то

Пример: при бросании кубика возможно 6 исходов

Событие А: выпадет четное число. Число исходов, благоприятствующих событию А, m=3.

Достоинства: можно вычислить вероятность не производя испытания.

Недостатки: 1) не всегда известно число исходов опыта,

2) часто невозможно представить результат испытаний в виде равновозможных и несовместных событий.

Поэтому на практике часто пользуются статистическим определением вероятности.

Статистическое определение вероятности.

Пусть А – случайное событие, опыт проводился n раз, в результате опыта событие А произошло m раз, тогда m - частота наступления события А, а величина называется относительной частотой события А.

Для разных n , могут заметно отличаться, но если проводим длинную серию опытов, т.е. , то к некоторому пределу.

Статистической вероятностью события А называется предел, к которому стремится его относительная частота , при неограниченном увеличении числа испытаний.

Пример: среди 1000 новорожденных 517 мальчиков. Найти относительную частоту рождения мальчиков. , тем не менее, известно, что

Так как вероятность – это число следовательно, с этими числами можно производить арифметические действия.

Формула полной вероятности.

Иногда событие А может произойти только совместно с одним из нескольких других событий, их принято называть гипотезами и обозначать Тогда полная вероятность события А вычисляется по формуле:

Пример: Н ₃

Н ₁ Н ₂ СобытиеА: попадёмв домик.

Формулы Байеса.

До проведения опыта мы имели вероятности гипотез

(В примере ).

После проведенияопыта:

Пусть событие А произошло (т.е. попали в домик), вероятности гипотез изменились. Для того, чтобы вычислить вероятности гипотез, при условии, что произошло событие А используют формулы Байеса:

Пример

Случайная величина.

Случайная величина – это переменная, которая принимает свои значения в зависимости от случайных обстоятельств.

.Дискретная случайнаявеличина (точечная) принимает отдельные числовые значения (число студентов в аудитории, кубик: 1,2,3,4,5,6)

Непрерывная случайная величина принимает любые значения из некоторого интервала(масса тела, рост студентов).

Случайные величины обозначают заглавными последними буквами латинского алфавита:X,Y,Z… ,а их возможные значения прописными буквами:

Любое правило, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями, с которыми она эти значения принимает, называется законом распределения случайной величины .

Закон распределения случайной величины можно задавать в виде :

1).Таблицы

2). Графика

3) Функции распределения.

Функция распределения.

1). f(x) неотрицательная функция (f(x)≥0).

2). Вероятность попадания в элементарный интервал dx=(x+Δx)-x равна f(x)dx=dP.

3).Вероятность попадания случайной величины в интервал :

←-∞ a b +∞→

4). Условие нормировки: площадь под кривой равна единице.

Формула полной вероятности.

Формулы Байеса.

Основы теории вероятностей.

Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает закономерности в массовых случайных событиях.

Событие – это факт, который может произойти или не произойти в результате проведения опыта или испытания.

Выделяют три вида событий:

а) достоверные

б) невозможные

с) случайные

Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдёт в результате данного опыта.(например: при бросании кубика выпадет 1≤целое число≤6).

Невозможное событие – это событие, которое никогда не произойдет в условиях данного опыта. .(например: при бросании кубика выпадет число≥7, например 10).

Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти в результате данного опыта. (например: бросили кубик один раз – выпадение числа 3 – случайное событие).

События обозначаются первыми заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D,.

События называются массовыми , если они происходят одновременно в достаточно большом числе испытаний или многократно повторяются.(например: много людей бросают кубики или один человек бросает кубик много раз).

Классификация случайных событий.

Равновозможные события – это события такие, что ни одно из них не является более возможным, чем другие (например: кубику всё равно на какую грань упасть).

Совместные события – это события, которые могут произойти одновременно в результате данного опыта. (например: бросаем 2 кубика - выпадение числа 1 и выпадение числа 3 – совместные события).

Несовместные события – это равновозможные события такие, что появление одного из них исключает появление остальных.(например : бросаем 1 кубик – выпадение цифры 3 исключает выпадение остальных цифр).

Несколько случайных событий: образуют полную группу событий , если каждое из них может произойти в результате данного опыта. (например: выпадение чисел 1,2,3,4,5,6 –полная группа событий для бросания одного кубика).

Противоположные события – это равновозможные несовместные события, образующие полную группу событий. Появление события исключает появление события . (например: орёл или решка, попадание в мишень или промах).

Несмотря на то, что события случайные, при большом числе опытов они подчиняются закономерностям, которые изучает теория вероятностей.

Опытом , или испытанием , называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием . Например, опытом является подбрасывание монеты, а событиями "герб", "цифра на верхней ее стороне" (когда монета упадет). Опытами являются стрельба по мишени, извлечение шара из ящика и т.п. События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, ...

Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте. Например, если в ящике находятся только голубые шары, то событие "из ящика извлечен голубой шар" является достоверным (в ящике нет шаров другого цвета).

Событие называется невозможным в данном опыте, если оно не может произойти в этом опыте. Так, если в ящике находятся только красные шары, то событие "из ящика извлечен голубой шар" является невозможным (таких шаров в ящике нет).

Событие называется случайным в данном опыте, если оно может произойти, а может и не произойти в этом опыте. Например, если в ящике находятся n голубых и m красных шаров, одинаковы по размеру и весу, то событие "из урны извлечен голубой шар" является случайным (оно может произойти, а может и не произойти, поскольку в урне имеются не только голубые, но и красные шары). Случайными событиями являются "герб" и "цифра на верхней стороне монеты при ее подбрасывании", "попадание и промах при стрельбе по мишени", "выигрыш по билету лотереи" и т.п.
З а м е ч а н и е. Приведенные примеры свидетельствуют о том, что одно и то же событие в некотором опыте может быть достоверным, в другом - невозможным, в третьем - случайным. Говоря о достоверности, невозможности, случайности события, имеют в виду его достоверность, невозможность, случайность по отношению к конкретному опыту, то есть к наличию определенного комплекса условий или действий.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает, появление другого в этом опыте. Так, при подбрасывании двух симметричных монет, события А - "герб на верхней стороне первой монеты" и В - "цифра на верхней стороне второй монеты" являются совместными.

Два события называются несовместными , если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Например, несовместными являются попадание и промах при одном выстреле. Несколько событий называются несовместными, если они попарно- несовместны.

Два события называются противоположными , если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Так, противоположными являются события "герб" и "цифра" при одном подбрасывании симметричной монеты. Если одно из противоположных событий обозначено буквой А, то другое обозначают . Например, если А - "попадание", то - "промах" при одном выстреле по мишени.

Множество событий A 1 , А 2 , ... , А n называют полной группой событий , если они попарно-несовместны; появление одного и только одного из них является достоверным событием. Поясним понятие полной группы событий на следующем примере. Рассмотрим события, появляющиеся при подбрасывании игрального кубика (то есть кубика, на гранях которого записаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 или изображены знаки, соответствующие этим цифрам). Когда кубик упадет, то верхней гранью окажется грань с одной из этих цифр. Событие: "верхней гранью оказалась грань с цифрой k" обозначим через A k (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6). События А 1 , А 2 , А 3 , А 4 , А 5 , А 6 образуют полную группу: они попарно-несовместны; появление одного и только одного из них является достоверным событием (когда кубик упадет, то только одна из граней окажется верхней, на ней написана только одна из цифр от 1 до 6).

События считают равновозможными , если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие. Например, при подбрасывании монеты событие А (появление цифры) и событие В (появление герба) равновозможны, так как предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не влияет на то, какая сторона монеты (герб или цифра) окажется верхней. При подбрасывании игрального кубика события A 1 , А 2 , А 3 , А 4 , А 5 , А 6 являются равновозможными, поскольку предполагается, что кубик изготовлен из однородного материала, имеет правильную форму и наличие цифр (или очков) на гранях не влияет на то, какая из шести граней окажется верхней. Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом (элементарным событием, или шансом).

Например, события A 1 , А 2 , А 3 , А 4 , А 5 , А 6 - элементарные исходы при подбрасывании кубика. Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию, или благоприятными шансами. Так, при подбрасывании игрального кубика элементарные исходы А 2 , А 4 , А 6 являются благоприятствующими событию "выпало четное число очков".

Пример 1.

Подбрасываются два игральных кубика, подсчитываются суммы выпавших очков (суммы числа очков на верхних гранях обоих кубиков). Сумма выпавших очков на двух кубиках может меняться от 2 до 12. Записать полную группу событий в этом опыте.

Решение.

Полную группу событий образуют равновозможные элементарные исходы (k ; m ), k , m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, представленные в таблице. Элементарный исход (k ; m ) означает, что на первом кубике выпало k очков, на втором m очков (k , m = 1,2,3,4,5,6). Например, (3; 4) - на первом кубике 3 очка, на втором - 4 очка.

(1;1)	(2;1)	(3;1)	(4;1)	(5;1)	(6;1)
(1;2)	(2;2)	(3;2)	(4;2)	(5;2)	(6;2)
(1;3)	(2;3)	(3;3)	(4;3)	(5;3)	(6;3)
(1;4)	(2;4)	(3;4)	(4;4)	(5;4)	(6;4)
(1;5)	(2;5)	(3;5)	(4;5)	(5;5)	(6;5)
(1;6)	(2;6)	(3;6)	(4;6)	(5;6)	(6;6)

Пример 2.

Сколько элементарных исходов благоприятствует событию "на обоих кубиках выпало одинаковое число очков" при подбрасывании двух игральных кубиков?

Решение.

Этому событию благоприятствуют 6 элементарных исходов (смотрите таблицу из примера 1): (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6).

Пример 3.

Подбрасывается два игральных кубика. Какому событию благоприятствует больше элементарных исходов: "сумма выпавших очков равна 7", "сумма выпавших очков равна 8"?

Решение.

Событию "сумма выпавших очков равна 7" благоприятствуют 6 исходов (см. табл. примера 1): (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1). Событию "сумма выпавших очков равна 8" благоприятствуют 5 исходов: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2). Следовательно, первому событию благоприятствует больше элементарных исходов.

Пример 4.

Подбрасываются три игральных кубика, подсчитываются суммы очков, выпавших на них. Сколькими способами можно получить в сумме 5 очков, 6 очков?

Решение.

Получить в сумме 5 очков можно шестью способами: (1; 1; 3), (1; 3; 1), (3; 1; 1), (1; 2; 2), (2; 1; 2), (2; 2; 1). Получить в сумме 6 очков можно десятью способами: (1; 1; 4), (1; 4; 1), (4; 1; 1), (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3), (2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1), (2; 2; 2).
З а м е ч а н и е. Запись (3; 2; 1) означает, что на первом кубике выпало 3 очка, на втором - 2 очка, на третьем - 1 очко.

Задачи

1. Являются ли несовместными следующие события:

б) опыт - два выстрела по мишени; события: А - "хотя бы одно попадание"; В - "хотя бы один промах".

2. Являются ли равновозможными следующие события:
а) опыт - подбрасывание симметричной монеты; события: А -"появление герба", В - "появление цифры";
б) опыт - подбрасывание погнутой монеты; события: А - "появление герба", В - "появление цифры";
в) опыт - выстрел по мишени; события: А - "попадание", В - "промах".

3. Образуют ли полную группу событий следующие события:
а) опыт - подбрасывание симметричной монеты; события: А - "герб", В - "цифра";
б) опыт - подбрасывание двух симметричных монет; события: А - "два герба", В - "две цифры".

4. Опыт - подбрасывание двух игральных кубиков. Сколько элементарных исходов благоприятствуют событию - выпало очков: 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9,10,11,12?

5. Опыт - подбрасывание трех игральных кубиков. Сколько всего элементарных исходов? Сколько элементарных исходов благоприятствуют событию - на трех кубиках выпало очков: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12? Каково наибольшее значение суммы выпавших очков?

Ответы

1. а) да; б) нет. 2 . а) да; б) нет; в) в общем случае нет. 3 . а) да; б) нет. 4 . 1,2,3,4,5,6,5,4, 3, 2, 1. 5 . n=216; 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25; 18.

Вопросы

1. Что называют опытом, или испытанием?
2. Что называют событием?
3. Какое событие называют достоверным в данном опыте?
4. Какое событие называют невозможным в данном опыте?
5. Какое событие называют случайным в данном опыте?
6. Какие события называют совместными в данном опыте?
7. Какие события называют несовместными в данном опыте?
8. Какие события называют противоположными?
9. Какие события считают равно возможными?
10. Что называют полной группой событий?
11. Что называют элементарным исходом?
12. Какие элементарные исходы называют благоприятствующими данному событию?
13. Что представляет собой полная группа событий при подбрасывании одной монеты?
14. Что представляет собой полная группа событий при подбрасывании двух монет?