В чем заключается суперпозиция полей. Принцип суперпозиции и границы его применения

Взаимодействие электрических зарядов осуществляется через особый вид материи, порождаемой заряженными частицами - электрическое поле . Электрические заряды изменяют свойства окружающего их пространства. Проявляется это в том, что на помещенный вблизи заряженного тела другой заряд (назовем его пробным ) действует сила (рис. 2). По величине этой силы можно судить об «интенсивности» поля, созданного зарядом q . Для того, чтобы сила, действующая на пробный заряд, характеризовала электрическое поле именно в данной точке пространства, пробный заряд, очевидно, должен быть точечным .

Рисунок 2

Поместив пробный заряд q пр на некотором расстоянии r от заряда q (рис. 2), мы обнаружим, что на него действует сила, величина которой зависит от величины взятого пробного заряда q пр .

Л
егко, однако, видеть, что для всех пробных зарядов отношениеF / q пр будет одно и тоже и зависит лишь от величин q и r , определяющих поле заряда q в данной точке r . Естественно, поэтому, принять это отношение за величину, характеризующую «интенсивность» или, как говорят, напряженность электрического поля (в данном случае поля точечного заряда ):

.

Таким образом, напряженность электрического поля является его силовой характеристикой . Численно она равна силе, действующий на пробный заряд q пр = +1, помещенный в данное поле.

Напряженность поля – вектор . Его направление совпадает с направлением вектора силы , действующей на точечный заряд, помещенный в это поле. Следовательно, если в электрическое поле напряженностью поместить точечный зарядq , то на него будет действовать сила:

Размерность напряженности электрического поля в СИ:
.

Электрическое поле удобно изображать с помощью силовых линий . Силовая линия – линия, вектор касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля в этой точке. Принято считать, что силовые линии начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных (или уходят на бесконечность) и нигде не прерываются.

Электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции (сложения), который можно сформулировать следующим образом: напряженность электрического поля, созданного в некоторой точке пространства системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, созданных в этой же точке пространства каждым из зарядов в отдельности:

.

1. Работа сил электростатического поля, потенциал. Консервативность электростатических сил, связь между е и . Потенциал точечного и распределенного заряда.

Как следует из закона Кулона, сила, действующая на точечный заряд q в электрическом поле, созданном другими зарядами, является центральной . Напомним, что центральной называется сила, линия действия которой направлена по радиус-вектору, соединяющему некоторую неподвижную точку О (центр поля) с любой точкой траектории. Из «Механики» известно, что все центральные силы являются потенциальными . Работа этих сил не зависит от формы пути перемещения тела, на которое они действуют, и равна нулю по любому замкнутому контуру (пути перемещения). В применении к электростатическому полю:

.

То есть, работа сил поля по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2 равна по величине и противоположна по знаку работе по перемещению заряда из точки 2 в точку 1, независимо формы пути перемещения. Следовательно, работа сил поля по перемещению заряда может быть представлена разностью потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках пути перемещения:

.

Введем потенциал электростатического поля φ , задав его как отношение:

, (размерность в СИ:
).

Тогда работа сил поля по перемещению точечного заряда q из точки 1 в точку 2 будет:

Разность потенциалов
называется электрическим напряжением. Размерность напряжения, как и потенциала, [U] = B.

Считается, что на бесконечности электрические поля отсутствуют, и значит
. Это позволяет датьопределение потенциала как работы, которую нужно совершить, чтобы переместить заряд q = +1 из бесконечности в данную точку пространства. Таким образом, потенциал электрического поля является его энергетической характеристикой.

Электростатическое поле - поле, созданное неподвижными в пространстве и неизменными во времени электрическими зарядами (при отсутствии электрических токов).

Электрическое поле представляет собой особый вид материи, связанный с электрическими зарядами и передающий действия зарядов друг на друга.

Если в пространстве имеется система заряженных тел, то в каждой точке этого пространства существует силовое электрическое поле. Оно определяется через силу, действующую на пробный заряд, помещённый в это поле. Пробный заряд должен быть малым, чтобы не повлиять на характеристику электростатического поля.

Напряжённость электри́ческого по́ля - векторная физическая величина, характеризующаяэлектрическое поле в данной точке и численно равная отношению силы действующей на неподвижный пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда :

Из этого определения видно, почему напряженность электрического поля иногда называется силовой характеристикой электрического поля (действительно, всё отличие от вектора силы, действующей на заряженную частицу, только в постоянном множителе).

В каждой точке пространства в данный момент времени существует свое значение вектора (вообще говоря - разное в разных точках пространства), таким образом, - это векторное поле. Формально это выражается в записи

представляющей напряженность электрического поля как функцию пространственных координат (и времени, т.к. может меняться со временем). Это поле вместе с полем вектора магнитной индукции представляет собой электромагнитное поле , и законы, которым оно подчиняется, есть предмет электродинамики.

Напряжённость электрического поля в СИ измеряется в вольтах на метр [В/м] или в ньютонах на кулон [Н/Кл].

Число линий вектора E, пронизывающих некоторую поверхность S, называется потоком вектора напряженности N E .

Для вычисления потока вектора E необходимо разбить площадь S на элементарные площадки dS, в пределах которых поле будет однородным (рис.13.4).

Поток напряженности через такую элементарную площадку будет равен по определению(рис.13.5).

где - угол между силовой линией и нормалью к площадке dS; - проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверхность площадки S будет равен

Так как , то

где - проекция вектора на нормаль и к поверхности dS.

При́нцип суперпози́ции - один из самых общих законов во многих разделах физики. В самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит:

результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил.

Наиболее известен принцип суперпозиции в электростатике, в которой он утверждает, что напряженность электростатического поля, создаваемого в данной точке системой зарядов, есть сумма напряженностей полей отдельных зарядов .

Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, которые полностью эквивалентны приведённой выше:

Взаимодействие между двумя частицами не изменяется при внесении третьей частицы, также взаимодействующей с первыми двумя.

Энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц. В системе нет многочастичных взаимодействий .

Уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.

Именно линейность фундаментальной теории в рассматриваемой области физики есть причина возникновения в ней принципа суперпозиции.

Рассмотрим метод определения модуля и направления вектора напряженности Е в каждой точке электростатического поля, создаваемого системой неподвижных зарядов Q 1 , Q 2 , …,Q n .

Опыт показывает, что к кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил (см. § 6), т. е. результирующая силаF, действующая со стороны поля на пробный заряд Q 0 , равна векторной сумме сил F i , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Qi:

Согласно (79.1), и , где Е-напряженность результирующего поля, а Еi - напряженность поля, создаваемого зарядом Qi ;. Подставляя последние выражения в (80.1), получаем

(80.2)

Формула (80.2) выражаетпринцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля электрического диполя.Электрический диполь - система двух равных по модулю разно именных точечных зарядов (+Q, -Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называетсяплечом диполя 1. Вектор

совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда |Q | на плечо l , называетсяэлектрическим моментом диполя илидипольным моментом (рис. 122).

Рис. 122

где Е+ и Е- - напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами. Воспользовавшись этой формулой, рассчитаем напряженность поля в произвольной точке на продолжении оси диполя и на перпендикуляре к середине его оси.

1. Напряженность поля на продолжении оси диполя в точке А (рис. 123). Как видно из рисунка, напряженность поля диполя в точке А направлена по оси диполя и по модулю равна

Рис. 123

Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через г, на основании формулы (79.2) для вакуума можно записать

Одной из основных задач электростатики является оценка параметров поля при заданном, стационарном, распределении зарядов в пространстве. Один из способов решения подобных задач основан на принципе суперпозиции . Суть его в следующем.

Если поле создается несколькими точечными зарядами, то на пробный заряд q действует со стороны заряда qk такая сила, как если бы других зарядов не было. Результирующая сила определится выражением:

Т.к. , то – результирующая напряженность поля в точке, где расположен пробный заряд, так же подчиняется принципу суперпозиции :

(1.4.1)

Это соотношение выражает принцип наложения или суперпозиции электрических полей и представляет важное свойство электрического поля. Напряженность результирующего поля, системы точечных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, созданных в данной точке каждым из них в отдельности.

Рассмотрим применение принципа суперпозиции в случае поля, созданного электрической системой из двух зарядов с расстоянием между зарядами, равными l (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Поля, создаваемые различными зарядами, не влияют друг на друга, поэтому вектор результирующего поля нескольких зарядов может быть найден по правилу сложения векторов (правило параллелограмма)

.

В данном случае

и

Следовательно,

(1.4.2)

Рассмотрим другой пример. Найдем напряженность электростатического поля Е , создаваемую двумя положительными зарядами q 1 и q 2 в точке А , находящейся на расстоянии r 1 от первого и r 2 от второго заря-дов (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Воспользуемся теоремой косинусов:

Где .

Если поле создается не точечными зарядами , то используют обычный в таких случаях прием. Тело разбивают на бесконечно малые элементы и определяют напряженность поля создаваемого каждым элементом, затем интегрируют по всему телу:

Где – напряженность поля, обусловленная заряженным элементом. Интеграл может быть линейным, по площади или по объему в зависимости от формы тела. Для решения подобных задач пользуются соответствующими значениями плотности заряда:
– линейная плотность заряда, измеряется в Кл/м;
– поверхностная плотность заряда, измеряется в Кл/м2;
– объемная плотность заряда, измеряется в Кл/м3.

Если же поле создано сложными по форме заряженными телами и неравномерно заряженными, то используя принцип суперпозиции, трудно найти результирующее поле.

формуле (1.4.4) мы видим, что – векторная величина:

(1.4.5)

Так что интегрирование может оказаться непростым. Поэтому для вычисления часто пользуются другими методами, которые мы обсудим в следующих темах. Однако в некоторых, относительно простых случаях эти формулы позволяют аналитически рассчитать .

В качестве примеров можно рассмотреть линейное распределение зарядов или распределение заряда по окружности .

Определим напряженность электрического поля в точке А (рис. 1.4) на расстоянии х от бесконечно длинного, линейного, равномерно распределенного заряда. Пусть λ – заряд, приходящийся на единицу длины.

Рис. 1.4

Считаем, что х – мало по сравнению с длиной проводника. Выберем систему координат так, чтобы ось y совпадала с проводником. Элемент длины dy , несет заряд Создаваемая этим элементом напряженность электрического поля в точке А .

> Суперпозиция полей

Рассмотрите принцип суперпозиции электрических полей: определение, формулировка и закон суперпозиции полей. Читайте о роли векторных полей и сложении векторов.

Когда множество электрических полей влияют на одну точку, мы получаем сумму прилагаемой силы каждого поля.

Задача обучения

• Вывести принцип суперпозиции для линейной системы.

Основные пункты

• Принцип суперпозиции: у всех линейных систем чистая реакция на несколько раздражителей в конкретном месте и времени равна сумме реакций на каждый индивидуальный стимул.
• Возможные стимулы не ограничиваются числами, функциями, векторами, векторными полями или меняющимися во времени сигналами.
• Принцип суперпозиции можно использовать к любой линейной системе, например, алгебраические формулы, линейные дифференциальные уравнения и их комбинирование.
• Электрические поля – непрерывные поля векторов, так что в конкретной точке можно обнаружить силы и приплюсовать их.

Термины

• Принцип суперпозиции: линейная комбинация двух или больше решений уравнений сама по себе выступает решением.
• Ортогональные – перпендикулярны друг другу.
• Вектор – ориентированное количество с величиной и направлением.

Если мы говорим о векторных полях, то они подчиняются принципу суперпозиции полей: у всех линейных систем чистая реакция на несколько раздражителей в конкретном месте и времени равна сумме реакций на каждый индивидуальный стимул.

Возможные стимулы не ограничиваются числами, функциями, векторами, векторными полями или меняющимися во времени сигналами. Важно отметить, что закон суперпозиции полей можно использовать на любой линейной системе, включая алгебраические формулы, линейные дифференциальные уравнения и их комбинирование.

К примеру, если силы А и В стабильны и одновременно влияют на тело, то результирующая сила будет их суммой. Векторное сложение – коммутативное, так что добавление сил не повлияет на результирующий вектор. Это также относится и к вычитанию векторов.

Сила a и b влияет на объект в точке О. Их сумма коммутативна и выводит на результат с

Электрические поля – непрерывные поля векторов, поэтому в конкретной точке можно отыскать силы, которые будут применяться к тестовому заряду, и приплюсовать их, чтобы вывести результат. Для начала нужно получить все компонентные векторы силы на каждой из ортодоксальных осей. Для этого можно использовать тригонометрические функции. Далее добавьте их по каждой оси.

Это единственная форма решения задачи. Для обнаружения полного результирующего вектора можно использовать теорему Пифагора (гипотенуза треугольника, созданного приложенными силами в виде ног) и угол относительно конкретной оси, приравняв обратную касательную угла к соотношению силы смежных и противоположных ног.